# Agent Report — Gap Ratio Porta Il Denominatore
**Date**: 2026-05-08 03:30
**Piano**: 86
**Tension explored**: M_trascendenza_limite_attuale_L0 (0.529179606750063)
**verdict**: CONSTRAINT
observables_registry: n/a
observables_used: [first_two_ratio, top2_ratio, large_gap_count]

## Claim Under Test
> Cosa manca per confermare completamente gap_ratio: phi=0.4090 vs ctrl_mean=1.1755 (ratio=0.35). gap_ratio(phi) piu' vici?

## Question
Il `gap_ratio` quasiperiodico e una firma del gap-labeling di phi, o e un osservabile sensibile al denominatore scelto (`N`, fase Sturmiana, soglia del gap largo)?

## Experiment Design
- Perimetro: Hamiltoniana tight-binding su sequenze Sturmiane a `V=1`.
- Domini: `theta=1/phi`, `1/silver`, `1/bronze`; baseline `balanced_random` con stesso numero di 1 della sequenza phi matched.
- Denominatore stratificato: `N={233,377,500,610}`, `phase={0,0.25,0.5,0.75}`, `threshold={1.75,2.0,2.25}`.
- Osservabile originale: `first_two_ratio = primo spacing sopra threshold*mean / secondo spacing sopra threshold*mean`.
- Osservabile di controllo interno: `top2_ratio = gap massimo / secondo gap massimo`.
- Null baseline: 3 random bilanciati per condizione, stessa lunghezza e stesso conteggio di 1 del phi matched.

## Results
Caso storico replicato:

| domain | N | phase | threshold | n_large | first_two_ratio | top2_ratio |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|
| phi | 500 | 0.00 | 2.00 | 30 | 0.408953 | 1.132017 |
| silver | 500 | 0.00 | 2.00 | 36 | 1.048223 | 1.060236 |
| bronze | 500 | 0.00 | 2.00 | 34 | 1.302786 | 1.164995 |

Stratificazione completa:

| domain | first_two median | first_two IQR | first_two range | top2 median | n_large median |
|---|---:|---:|---:|---:|---:|
| phi | 0.454346 | 0.408341-0.547506 | 0.197603-3.694942 | 1.577373 | 29.0 |
| silver | 1.048223 | 0.762590-1.456942 | 0.148351-2.158859 | 1.436926 | 27.0 |
| bronze | 0.976329 | 0.518940-1.096559 | 0.293143-2.110008 | 1.454174 | 26.0 |
| balanced_random | 1.034120 | 0.746931-1.492484 | 0.242478-4.047607 | 1.130399 | 54.5 |

Matched comparison:

| comparison | count |
|---|---:|
| phi < silver | 38/48 |
| phi < bronze | 30/48 |
| phi < both | 25/48 |

## Key Findings
1. **Il valore vecchio e verificato, non inventato.** A `N=500`, `phase=0`, `threshold=2.0`, il test riproduce `phi=0.408953`, `silver=1.048223`, `bronze=1.302786`. Fonte: output dello script, verificato.

2. **Il claim universale non regge.** Quando il denominatore viene aperto, phi batte entrambi i controlli solo in `25/48` condizioni matched. In `23/48` condizioni almeno un controllo ha `first_two_ratio` piu basso. Fonte: stratificazione, verificato.

3. **Il ratio originale misura posizione del primo varco largo, non solo taglia dei varchi.** Il controllo `top2_ratio` non replica la separazione: phi ha mediana `1.577373`, sopra silver `1.436926`, bronze `1.454174` e random `1.130399`. Inferito dal confronto tra `first_two_ratio` e `top2_ratio`.

4. **Il nodo regressivo e il denominatore dell'osservabile.** `first_two_ratio` non e una proprieta bulk dello spettro; dipende da quali due gap superano per primi la soglia lungo l'ordine spettrale. Il claim valido deve dichiarare `N`, fase e soglia come parte atomica.

## Verdict
**CONSTRAINT on TRASCENDENZA_LIMITE / M_trascendenza_limite_attuale_L0**: il `gap_ratio` phi non conferma gap-labeling come claim generale. Conferma un segnale di denominatore Sturmiano nel punto storico e una tendenza mediana su questo perimetro; non conferma dominanza matched su tutte le fasi, scale e soglie. La formulazione corretta e: nel perimetro stratificato `N={233,377,500,610}`, `phase={0,0.25,0.5,0.75}`, `threshold={1.75,2.0,2.25}`, phi abbassa la mediana del `first_two_ratio`, ma il supporto matched e `25/48`.

## Bicono della scoperta
- **Due radici**: valore puntuale replicato · denominatore stratificato che lo vincola.
- **Singolare**: l'ordine spettrale dei gap larghi, dove il primo e il secondo varco diventano osservabile.
- **Invariante di passaggio**: resta la necessita del denominatore `N/phase/threshold`; non resta il claim di gap-labeling universale.
- **Campo di possibilita**: qui diventa possibile cercare una firma robusta nei label dei gap, non nella coppia dei primi due gap sopra soglia; qui diventa non-possibile usare `0.408953` come prova senza denominatore atomico.

## Consecutio
Costruire il passo successivo sul label, non sul ratio: per ogni gap largo, stimare il miglior label `m+n*theta` e misurare stabilita del label-set sotto `phase`, `N` e soglia. Se il label-set di phi resta stabile mentre `first_two_ratio` si muove, la trascendenza passa dal valore metrico alla tassonomia dei varchi.

## Auto-audit: 5 lenti
- **L1 hard constraint vs bias**: nessun "sempre"; il report include i `23/48` contro-casi matched.
- **L2 quantita vs ratio**: riporto mediane, IQR, range, conteggi matched e caso storico.
- **L3 no silent patching**: il claim originale e vincolato esplicitamente, non salvato cambiando nome al risultato.
- **L4 edge cases**: i casi `N=233 phase=0.25/0.75` e `N=377 phase=0/0.25` entrano nel verdict come rotture del claim universale.
- **L5 re-discovery**: tight-binding Sturmiano e gap spacing sono strumenti standard; il finding e nel denominator gate, non nella diagonalizzazione.

## Files
- Script: `tools/exp_quasiperiodic_gap_ratio_denominator.py`
- Data: `tools/data/quasiperiodic_gap_ratio_denominator_20260508_0330.json`
- Report: `tools/data/reports/agent_20260508_0330.md`