# Agent Report — 2026-04-05 08:25

## Piano: 39 | Tensione esplorata: BOUNDARY (0.8)

### Domanda
La transizione GUE -> Poisson nelle statistiche dei gap primi e' un fenomeno strutturale dei primi, o appare in qualsiasi sequenza con densita' decrescente?

### Metodo
- Gap ratio consecutivi `<r> = min(g_i, g_{i+1}) / max(g_i, g_{i+1})` su 20 finestre log-spaced da n=25K a n=10M
- Riferimenti: `<r>_GUE = 0.5307`, `<r>_Poisson = 0.3863`
- Null baseline: 20 realizzazioni Cramer (ogni intero n incluso con prob 1/ln(n))
- 664,579 primi reali fino a 10^7

### Risultati

| Osservazione | Valore |
|:-------------|:-------|
| Slope `<r>` primes vs log10(n) | -0.0117 |
| Slope `<r>` Cramer vs log10(n) | -0.0158 |
| Differenza slopes | +0.0041 (< 0.005 threshold) |
| z-score medio (primes - Cramer) | +2.63 |
| z-score massimo | +5.56 |
| Finestre con \|z\| > 2 | 11/20 (55%) |

### Interpretazione

**1. La direzione della transizione e' un effetto densita' (parziale falsificazione)**
Le slopes sono quasi identiche. Sia i primi che i Cramer random transitano da valori piu' alti di `<r>` (piu' GUE-like) a valori piu' bassi (piu' Poisson-like) man mano che la densita' decresce. La classificazione "8 domini GUE, 5 Poisson" riflette principalmente questo effetto di densita'.

**2. L'eccesso di correlazione e' strutturale (scoperta)**
I primi hanno `<r>` sistematicamente piu' alto dei Cramer in TUTTE le 20 finestre. Lo z-score cresce da ~1 (piccoli n) a ~5 (grandi n). Questo eccesso non puo' essere spiegato dalla densita' — e' contenuto strutturale dei primi (consistente con correlazioni Hardy-Littlewood per k-tuple).

**3. Il regime e' intermedio, non dicotomico**
Tutti i valori `<r>` cadono tra 0.44-0.48, ben lontani sia dal GUE puro (0.53) che dal Poisson puro (0.39). I primi vivono in un regime intermedio che non collassa ne' sull'uno ne' sull'altro — un confine largo, non una transizione di fase.

### Connessione al modello D-ND
Il "terzo incluso" non e' un punto di transizione tra GUE e Poisson. E' il regime intermedio stesso. I primi non sono ne' correlati (GUE) ne' indipendenti (Poisson) — sono in un terzo stato con correlazione in eccesso che cresce con la scala. Questo e' coerente con f(x) = 1 + 1/x: la regola genera correlazione oltre l'indipendenza, ma non la correlazione rigida di una matrice random.

### Aggiornamento seme
- BOUNDARY: intensita' ridotta da 0.8 a 0.7 (la classificazione dicotomica e' deflazionata)
- Claim aggiornato con il risultato sperimentale
- Il segnale non-triviale ridiretto: non dove cambia il regime, ma che l'eccesso cresce

### Prossimi passi possibili
1. Pair correlation function r_2(k) per i primi vs Cramer — test diretto delle correlazioni Hardy-Littlewood
2. Estendere a 10^8 per verificare se il z-score continua a crescere
3. Testare se il tensore metrico g=(p/2)^2 (METRIC_TENSOR, 0.9) produce lo stesso eccesso di correlazione

### Dati
- Script: `tools/exp_boundary_gue_poisson.py`
- Risultati JSON: `tools/data/reports/exp_boundary_20260405_0825.json`